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はじめに

信号処理でカルマンフィルタは多くの場面で活用できるので，気になる部分を抜粋する．

カルマンフィルタは，フィルタリング理論の1種である．1940年代，コルモゴロフとウィナーらが提案した定常時系列を扱う古典的なフィルタリング問題と，カルマンが提案した，状態空間表現を使った，状態推定問題を提案した．

古典的なフィルタリング問題とは，

測定された時系列データの中から，信号成分だけを通し，雑音成分を除去する仕組み(アルゴリズム)を見つけること．ただし，その時刻までの時系列データを用いて信号処理を行う．

カルマンのフィルタリング問題とは，

現時刻までに測定可能な量である時系列データと，場合によっては入力も用いて，ダイナミクスを規定する状態変数の値を推定すること．

また，別の項では，

時系列データ $y(k)$ に基づいて，状態 $x(k)$ の平均二乗誤差(MSE: Mean Square Error)の最小値を与える推定値，すなわち最小平均二乗誤差推定値(MMSE: Minimum Mean Square Error)を見つけること．

とある．

カルマンフィルタ問題を記述する上で必要な2つの量を定義する．

事前推定値 (a priori estimate) : $\hat{x}^-(k) = \hat{x}(k|k-1)$

時刻 $k-1$ までに利用可能なデータに基づいた，時刻 $k$ における $x$ の予測推定値を意味する．事前推定値を求める処理を，予測ステップと呼ぶ．
事後推定値 (a posteriori estimate) : $\hat{x}(k) = \hat{x}(k|k)$

時刻 $k$ までに利用可能なデータ，すなわち $y(k)$ も用いた $x$ のフィルタリング推定値であり，これが時刻 $k$ において求めるべき推定値である．事後推定値を求める処理を，フィルタリングステップと呼ぶ．

参照した書籍には，各ステップを分かり易い図で表しているが，簡易的に記号だけでメモしておく．

予測ステップ
- 状態推定値 : $\hat{x}(k-1) \rightarrow \hat{x}^-(k)$
- 共分散行列 : $P(k-1) \rightarrow P^-(k)$
フィルタリングステップ
- 状態推定値 : $\hat{x}^-(k) + y(k) \rightarrow \hat{x}(k)$
- 共分散行列 : $P^-(k) \rightarrow P(k)$

線型カルマンフィルタを前提に，最小二乗推定法と同様な，線型予測器によるフィルタリングのモデル化を行っている．

$\hat{x}(k) = G(k)\hat{x}^-(k) + g(k)y(k)$

上記は，以下の意味を持つ，

$事後推定値 = G(k)・事前推定値 + g(k)・最新の観測値$

$g(k)$ は，カルマンゲインと呼ばれ，カルマンゲイン，事後推定値，事前推定値，出力予測誤差の関係は，以下の意味を持つ，

$事後推定値 = 事前推定値 + カルマンゲイン・出力予測誤差$

出力予測誤差とは， $\tilde{y}(k) = y(k) - \hat{y}^-(k)$ で表され，最新の観測地と事前予測値の差である．

事前共分散行列 $P^-(k)$ を導入して，下記の式で得られる．

$\displaystyle g(k) = \frac{P^-(k) c}{c^{T} P^-(k) c + \sigma^{2}_{w}}$

分母はスカラー値なので，ばらつきが大きいほど事前共分散行列の成分を小さくするので，観測値の影響が小さくなり，フィードバックを受けにくくなる．

共分散行列の更新は，予測ステップと，フィルタリングステップで各々，事前共分散行列の更新，事後共分散行列の更新を行う．